Ergodicidad#
Esta es a la vez la página más abstracta del sitio y aquella de la que dependen todos los números concretos. La pregunta a la que responde parece una adivinanza: ¿cómo puede una apuesta con esperanza positiva arruinar a casi todos los que la juegan? La respuesta está en una palabra tomada prestada de la física estadística — ergodicidad — y en la distinción, simple y vertiginosa, entre la media calculada a través de los escenarios y la media calculada a través del tiempo.
El juego de Peters#
El ejemplo canónico (que Ole Peters hizo célebre) es una moneda: cara, tu capital se multiplica por 1,5; cruz, por 0,6. La esperanza de un solo lanzamiento es espléndida: 0,5 × 1,5 + 0,5 × 0,6 = 1,05, un +5% esperado por lanzamiento. Y sin embargo quien juega repetidamente, reinvirtiéndolo todo, acaba casi con seguridad en la ruina. El truco se ve mirando dos lanzamientos equilibrados: una cara y una cruz dan 1,5 × 0,6 = 0,9. El jugador mediano pierde el 10% cada dos lanzamientos, y a largo plazo el capital crece al ritmo geométrico √(1,5 × 0,6) − 1 ≈ −5% por lanzamiento. ¿Cómo se concilia esto con el +5% esperado? La esperanza está dominada por trayectorias cada vez más improbables y cada vez más ricas: el afortunado que encadena veinte caras seguidas posee una suma astronómica que mantiene alta la media del conjunto, mientras casi todas las trayectorias individuales se deslizan hacia cero.
Trescientos jugadores simulados: la media de conjunto (verde) crece un 5% por lanzamiento, la trayectoria mediana (roja) pierde un 5% por lanzamiento. Tú eres una línea gris, no la verde.
He aquí el corazón del asunto. La media de conjunto (ensemble average) responde a la pregunta: si mil personas juegan una vez, ¿cuánto ganan de media? La media temporal (time average) responde a: si una persona juega mil veces, ¿a qué ritmo crece su capital? Un proceso es ergódico cuando las dos coinciden. Los procesos aditivos (ganas o pierdes importes fijos, independientes del capital) lo son. Los procesos multiplicativos — e invertir es multiplicativo: los rendimientos se componen sobre el capital corriente — no lo son. Tú no eres el conjunto: eres una sola trayectoria, y vives en la media temporal. La esperanza, por sí sola, no te concierne.
La matemática de la diferencia es conocida: para rendimientos multiplicativos la tasa de crecimiento a largo plazo es aproximadamente g ≈ μ − σ²/2, donde μ es el rendimiento esperado aritmético y σ la volatilidad. El término σ²/2 es el volatility drag: el impuesto que la varianza cobra a la composición. Y aquí entra el apalancamiento, con su asimetría cruel: apalancar por L multiplica μ por L pero el drag por L², de modo que g(L) ≈ L·μ − L²·σ²/2 es una parábola invertida. Existe un apalancamiento óptimo (el criterio de Kelly: L* = μ/σ², que maximiza el crecimiento a largo plazo), más allá del cual más apalancamiento produce menos crecimiento, y a partir de cierto punto crecimiento negativo: una estrategia ganadora, suficientemente apalancada, se convierte en una máquina de perder con certeza. Cuando en la página Derivados liquidé el mito de «los derivados son peligrosos» diciendo que el riesgo está en la relación entre nocional y capital, me refería exactamente a esto, en forma cuantitativa.
Dos notas antes de aplicar. Primera: Kelly presupone conocer μ y σ — y quien opera los conoce mal, sobre todo σ en las colas (página Tail risk). Por eso la práctica universal es el Kelly fraccionario: la mitad o un cuarto del apalancamiento teórico, que sacrifica poco crecimiento esperado a cambio de una robustez enorme frente a los errores de estimación. Segunda: todo el razonamiento asume que el juego continúa. Existe sin embargo un estado que lo interrumpe: la ruina, el cero (o el margin call, o el punto de abandono psicológico), que es un estado absorbente — desde ahí ya no se compone nada, y ninguna esperanza futura, por brillante que sea, tiene ya valor alguno. La primera regla de la ergodicidad aplicada es brutal: antes de maximizar el crecimiento, reduce a cero la probabilidad de tocar el estado absorbente. Y fíjate en que he escrito «punto de abandono psicológico» junto al margin call, porque el estado absorbente no es solo contable: para la mayoría de las personas existe un nivel de drawdown más allá del cual se abandona — se cierran las posiciones en mínimos, se jura no volver a tocar una opción — y desde ahí, exactamente igual que desde el cero, ya no se compone nada. Tu estado absorbente es el más alto entre el de tu bróker y el de tu estómago, y el segundo hay que estimarlo con la misma honestidad que el primero.
El volatility selling bajo la lente ergódica#
Aplico ahora la lente al oficio de este sitio, porque el short vol es el caso de estudio perfecto: es el prototipo de la apuesta con esperanza positiva (el VRP, página Volatility risk premium) y media temporal potencialmente desastrosa (el cementerio de la página Risk management). La distribución por operación individual — ganancia pequeña casi segura, pérdida grande y rara — es multiplicativamente venenosa: el σ² que entra en el drag está dominado precisamente por la pérdida rara, y el apalancamiento lo amplifica al cuadrado. OptionSellers.com es la demostración didáctica: esperanza positiva, apalancamiento de conjunto estadístico, una sola cola — y la trayectoria acabó en el estado absorbente, con vídeo de disculpas a los clientes incluido. No tuvieron mala suerte: jugaron la media de conjunto viviendo, como todos, en la media temporal.
Y he aquí por qué la arquitectura de la TRPS es, usen o no sus practicantes este vocabulario, ingeniería ergódica. Retomo el argumento del teorema central del límite: 252 apuestas casi independientes al año, cuya media tiende a una distribución normal, con la skewness diaria de −2,4 que se lava hasta −0,1 en base anual. El argumento es correcto — pero vale a condición de que ninguna apuesta individual pueda ser fatal. El CLT agrega fluctuaciones, no resucita trayectorias: si una cola de las 252 puede poner la cuenta a cero, no hay teorema que valga, porque la composición se interrumpe. Las defensas vistas hasta ahora adquieren aquí su significado unitario: el vencimiento a un día limita cuánto puede moverse el mundo dentro de una sola apuesta; el stop limita la pérdida por apuesta en los casos ordinarios; y el apalancamiento moderado limita la pérdida incluso cuando el stop falla (el gap nocturno). Las tres juntas hacen una sola cosa: comprimen la cola de la operación individual hasta que el proceso, de multiplicativo salvaje, se vuelve «casi aditivo» — muchas pequeñas apuestas independientes respecto al capital. Sobre un proceso casi aditivo el CLT trabaja legítimamente, la media temporal converge a la de conjunto, y la esperanza positiva del VRP se vuelve por fin tuya. En este sentido preciso respondo a la pregunta dejada abierta en la introducción: una estrategia de volatility selling no es ergódica — se hace ergódica mediante el sizing y el risk management, o no lo es en absoluto.
El test numérico es el ya encontrado en Tail risk, y ahora puedo darle el nombre correcto. Escenario: gap de apertura del 15% más allá de los strikes, stops inútiles. Con apalancamiento 3-4x la pérdida es del orden del 30-40% de la cuenta: dolorosísima, pero el proceso continúa — a ese nivel de drawdown hacen falta «solo» rendimientos del 50-65% para recuperarse, factibles en unos años de primas. Con apalancamiento 10x la pérdida supera el 100%: estado absorbente, fin de la trayectoria. La frontera entre los dos apalancamientos no es un matiz de agresividad: es la frontera entre un proceso que tiene media temporal y uno que no la tiene. Y es la razón por la que, a la pregunta «¿por qué no apalancar más una estrategia con IR 9?», la respuesta correcta no es prudencial sino matemática.
Merece la pena interiorizar también la aritmética de la recuperación, porque es la cara cotidiana de la no ergodicidad: las pérdidas y las ganancias no son simétricas en un proceso multiplicativo. Para volver al punto de partida después de un −10% hace falta un +11%; después de un −25%, un +33%; después de un −50%, un +100%; después de un −75%, un +300%. La curva es convexa y acelera: cada punto adicional de drawdown cuesta más de un punto de recuperación, y por eso dos estrategias con la misma esperanza aritmética pero distintos drawdown máximos tienen tasas de crecimiento compuesto distintas — la que pierde menos en los peores momentos acaba por delante, aun ganando menos en los mejores. Cuando en la página TRPS vs DHCS compare la TRPS y la DHCS por drawdown y no solo por alpha, será esta aritmética la que haga de juez.
Tres reglas operativas#
Destilo la página en tres reglas, que son el fundamento de los parámetros de la sección Estrategias.
Primera: dimensiona sobre el peor caso, no sobre el esperado. El apalancamiento se elige partiendo del escenario extremo plausible (el gap que se salta los stops) e imponiendo que la pérdida resultante deje la cuenta viva y al piloto lúcido. Solo después se comprueba que el rendimiento esperado justifique la molestia. Nótese la consonancia con Israelov (página Medidas de riesgo): dimensionar sobre un presupuesto de stress-test loss es exactamente este principio en forma institucional — y su corolario, el alpha que escala linealmente con el presupuesto de cola, es la versión financiera del teorema ergódico: la rentabilidad se compra pagando en riesgo de ruina potencial, a tarifa conocida.
Segunda: protege la composición, no la operación individual. Pérdidas pequeñas y frecuentes (los stops «falsas alarmas» que tanto irritan) son la prima de seguro que pagas por mantener limitada la cola por operación. La cuenta de resultados se juzga sobre el año, no sobre el día concreto: es la lógica del PCR de la TRPS, que acepta serenamente un capture del 50-60% en las patas más ruidosas.
Tercera: recuerda qué estás maximizando. No la esperanza — esa pertenece al conjunto, a un dios que juega todos los escenarios en paralelo. Tú maximizas la tasa de crecimiento de tu única trayectoria, que premia la supervivencia por encima de todo. «Para ganar primero tienes que sobrevivir» no es un proverbio motivacional: es el enunciado informal de un teorema.
Con esto se cierra la sección sobre el riesgo. Ahora tienes los instrumentos (sección Derivados), la prima por recoger (Volatility risk premium), las métricas para medir lo que importa (Medidas de riesgo), el mapa de las colas (Tail risk) y el principio que gobierna el dimensionamiento. Es el momento de construir las estrategias.