Criterio di Kelly#

La pagina Ergodicità ha stabilito il principio: si massimizza il tasso di crescita della propria unica traiettoria, e la leva ottima esiste ed è calcolabile. Questa pagina fa quello che la precedente ha solo promesso: i conti. La domanda è quella che ogni venditore di put si ripropone prima di ogni ordine, e che le risposte intuitive (“quelli che il margine permette”, “quelli che mi fanno dormire”) non chiudono mai davvero: quanti contratti? Esiste una risposta matematica, e ha settant’anni: il criterio di Kelly, nato ai Bell Labs nel 1956 e raccolto — teoremi, applicazioni e obiezioni — nell’antologia di MacLean, Thorp e Ziemba che trovi nelle Risorse, 883 pagine curate anche dall’uomo che quella formula l’ha usata per una vita intera.

L’esercizio che segue applica quel framework a una configurazione volutamente molto difensiva della strategia di casa: put SPX a 5% out-of-the-money, un giorno alla scadenza, il regno dei delta 1-2 dove la put scade senza valore più del 99,9% delle volte. Sembra il posto più sicuro del mondo. I numeri diranno una cosa più sottile — e per certi versi più scomoda della versione aggressiva. Una premessa onesta prima di cominciare: è un esercizio, non una taglia consigliata; i numeri di mercato sono ipotesi stilizzate ma plausibili, e chi volesse replicare l’analisi deve ricalibrarla sui propri dati, costi e vincoli.

Kelly in tre minuti#

L’idea, già incontrata: a ogni scommessa investi la frazione di capitale che massimizza il tasso di crescita composto della ricchezza — il valore atteso del logaritmo del capitale, non il profitto atteso (che porterebbe a puntare tutto, sempre, fino alla rovina certa) né il rischio minimo (che porterebbe a non puntare nulla). Per la scommessa più semplice — vinci b per ogni euro puntato con probabilità p, perdi la puntata con probabilità q = 1 − p — la frazione ottima ha una formula celebre: f* = (b·p − q) / b, l’edge diviso le odds. Una moneta truccata che vince il 53% delle volte a quote pari: f* = 0,53 − 0,47 = 6% del capitale a ogni lancio. Né più né meno. I teoremi di Breiman (1961) garantiscono che chi scommette così finisce, con probabilità che tende a 1, più ricco di chiunque usi qualunque strategia “essenzialmente diversa”.

Tre avvertenze però, tutte documentate nell’antologia e tutte decisive per quello che segue.

Primo: la formula famosa vale solo per scommesse binarie. Per payoff a più esiti bisogna tornare alla definizione e massimizzare numericamente g(f) = E[ln(1 + f·X)], dove X è il payoff per unità investita; e se la scommessa può perdere più della puntata — vendite allo scoperto, futures, opzioni vendute: il nostro caso — la generalizzazione di Thorp per “vinco b con probabilità p, perdo a con probabilità q” è f* = (b·p − a·q) / (a·b).

Secondo: il full Kelly è violento. Una formula illuminante (Thorp la attribuisce a Don Schlesinger) dà la probabilità che il capitale scenda, prima o poi, sotto una frazione x di quello iniziale, quando si scommette una frazione c del Kelly ottimo: P = x^(2/c − 1). A full Kelly (c = 1) l’esponente vale 1: la probabilità di dimezzare il capitale, prima o poi, è del 50%; di vederlo ridotto a un decimo, 10%. A mezzo Kelly l’esponente diventa 3 e il dimezzamento crolla al 12,5%, sacrificando solo un quarto della crescita — la crescita relativa è c·(2 − c): a metà Kelly, il 75%.

Terzo: sbagliare per eccesso è mortale, per difetto veniale. La curva di crescita è la collina della pagina Ergodicità: piatta vicino alla vetta, ripidissima oltre; al doppio del Kelly ottimo la crescita torna a zero (c’è un’elegante dimostrazione di Markowitz nell’antologia), oltre diventa negativa — si va verso la rovina pur vincendo in media ogni singola scommessa. E lo studio di Chopra e Ziemba (1993) aggiunge il dettaglio crudele: gli errori di stima sulla media pesano circa venti volte quelli sulla varianza, e il rapporto peggiora proprio per chi scommette aggressivo. L’input che quasi certamente sbaglierai è esattamente quello che fa più danno, e il danno è asimmetrico verso l’overbetting. Da qui la regola unanime del libro, che in Ergodicità ho chiamato Kelly frazionario: stima l’edge con pessimismo e scommetti metà o un quarto del Kelly calcolato.

Il payoff rovesciato e il tetto di non-rovina#

La vendita di put OTM 1DTE è l’anti-scommessa di Kelly: si vince quasi sempre un importo minuscolo e si perde raramente un importo potenzialmente enorme. E più lo strike è lontano, più le monetine sono piccole e più il rullo compressore, quando arriva, è già lanciato. Il criterio non ha pregiudizi sul segno della skewness — ma bisogna dargli in pasto il payoff vero, code comprese.

Formalizzo il minimo indispensabile. X è il P&L in dollari per contratto a scadenza (premio incassato meno l’eventuale valore intrinseco, per 100); la variabile di dimensionamento è ν = N/W, contratti per dollaro di capitale; il Kelly ottimo risolve E[X / (1 + ν·X)] = 0. Due grandezze derivate rendono tutto leggibile: la leva nozionale (strike × 100 × contratti / capitale — il numero della pagina Capital efficiency) e la perdita worst-case rispetto al capitale.

E qui, prima ancora di ottimizzare, Kelly regala il primo risultato. Il logaritmo di un numero negativo non esiste: il dominio stesso del problema impone che la perdita dello scenario peggiore non possa superare il capitale. Il numero massimo teorico di contratti è il capitale diviso la perdita worst-case per contratto. Con SPX a 7.500, strike 5% OTM (7.125) e uno scenario peggiore a −20% overnight — il 19 ottobre 1987 fece −20,5%: non è fantascienza, è il record storico della pagina Tail risk — la perdita per contratto è 100 × [(20% − 5%) × 7.500] meno il premio: circa 112.460 dollari. Un conto da un milione non può vendere più di 1.000.000 / 112.460 = 8,89 contratti — leva nozionale 6,3× — nemmeno volendo massimizzare la crescita senza alcun riguardo per il rischio. Chi ne vende di più non sta facendo una scommessa aggressiva: sta facendo una scommessa che la matematica della crescita composta classifica come rovina certa, se ripetuta.

Il modello: quattro scenari con le code oneste#

Thorp insiste su un punto che i praticanti saltano volentieri: per payoff non binari non bastano media e varianza — serve la distribuzione intera. E per l’S&P 500 le code sono quelle della pagina Tail risk: un ribasso giornaliero oltre il 5% sarebbe, per una gaussiana con volatilità intorno all'1%, un evento da una volta ogni qualche milione di anni; nella realtà è capitato una quindicina di volte dal 1950 — circa una seduta su mille — concentrato in poche settimane maledette (ottobre 1987, ottobre 2008, marzo 2020).

Costruisco quindi un modello a quattro stati, volutamente semplice ma con le code al posto giusto. Parametri: capitale 1.000.000 $, SPX a 7.500, strike 7.125, premio 0,40 punti = 40 $ per contratto (stilizzato: un 1DTE così lontano quota pochi decimi di punto, nei regimi di volatilità alta anche di più).

Le perdite si calcolano tutte allo stesso modo: 100 × [(ribasso − 5%) × 7.500] meno il premio. Il valore atteso che ne esce è +15,25 $ per contratto: circa il 38% del premio incassato è edge netto, il resto è il costo attuariale delle code. È il volatility risk premium in miniatura, ed è la ragione per cui la strategia può avere senso. Ma guarda il resto della carta d’identità: deviazione standard 1.253 $ — 82 volte la media — e skewness −77: più lo strike è lontano, più la distribuzione si deforma — allontanare lo strike non addomestica il mostro, lo concentra.

La trappola: il Kelly media-varianza prescrive la rovina#

Alla pagina Ergodicità ho citato la versione continua del criterio, L* = μ/σ² — quella con cui Thorp calcola che il Kelly teorico sull’S&P 500 storico è una leva di 2,2×, aggiungendo subito che usarla sarebbe folle perché i prezzi saltano. Applichiamola per vedere l’effetto ai P&L della nostra strategia (media 15,25 $, varianza 1,57 milioni): escono 9,7 contratti per milione.

Rileggi il paragrafo del tetto: il massimo assoluto era 8,89. Il Kelly media-varianza — la formula “da manuale” — prescrive più contratti del limite oltre il quale lo scenario 1987 spazza via il conto e lo manda a debito. Non è un dimensionamento aggressivo: è la rovina certa travestita da ottimizzazione, e nessun avviso suonerebbe, perché media e varianza sono ciecamente soddisfatte della loro fotografia del rischio. Con una skewness di −77, i momenti oltre il secondo — che la formula ignora — non sono una correzione: sono la sostanza. La formula di Ergodicità vale per processi ben educati; su questo payoff è un ordine di autodistruzione.

Regola da appendere sopra il monitor: mai dimensionare una strategia short volatility con formule media-varianza — sempre scenari discreti, con le code calibrate sulla distribuzione che i dati mostrano davvero: la cubic law. E più lo strike è OTM, più la regola è vitale: qui la formula da manuale non si limita a gonfiare il dimensionamento, lo porta oltre la soglia della bancarotta. Se consola, è concettualmente lo stesso errore che affondò Long-Term Capital Management: modelli eleganti sui primi due momenti, code vere sul conto.

Che cos’è, la cubic law? La legge empirica più solida che abbiamo sulle code dei mercati: la probabilità di un ribasso oltre una soglia x decade come x^−3 — una legge di potenza con esponente 3, non “una gaussiana con le code un po’ grasse”. L’hanno documentata Gabaix, Gopikrishnan, Plerou e Stanley su circa un miliardo di osservazioni: vale dagli orizzonti di 15 minuti alla settimana, tra titoli grandi e piccoli, tra decenni e tra mercati (S&P 500, Nikkei, Hang-Seng: esponenti tra 3,0 e 3,3), ed è la misura di precisione di quel “3-4” di Bouchaud e Potters già incontrato alla pagina Tail risk — Bouchaud che di questa idea ha fatto un programma: si dimensiona contro la coda di potenza, non contro la campana. Il dettaglio che riguarda noi: i crash non sono outlier della legge. Sul Dow dal 1925, il −20,5% del 1987 è statisticamente compatibile con la stessa retta che descrive le fluttuazioni di ogni settimana: la cubic law lo prezza, la gaussiana no. Il che salda lo scenario −20% del modello: non fantascienza, estrapolazione. E l’estrapolazione si fa a mano: sotto cubic law un ribasso oltre il 20% è (5/20)³ = 1/64 volte frequente quanto uno oltre il 5% — il modello a quattro stati all’estremo assegna 1/10 dei breach, cioè è perfino più pessimista della legge: prudenza deliberata, vista la lezione di Chopra-Ziemba. Con esponente 3, infine, la varianza esiste ancora ma la curtosi è infinita: ogni metrica costruita sui primi due momenti è cieca per costruzione, non per sfortuna. Per imparare a stimare code così senza farsi ingannare dal campione, il manuale è The Fundamentals of Heavy Tails di Nair, Wierman e Zwart, nelle Risorse.

Il Kelly esatto, riga per riga#

Risolvendo numericamente la condizione di ottimo (il problema è concavo, la soluzione unica: una bisezione fa il lavoro in un foglio di calcolo) esce il quadro completo:

(Le probabilità di drawdown usano la formula x^(2/c − 1); con i gap overnight vanno lette come limiti inferiori. La crescita è il tasso composto sopra il rendimento del collaterale: i T-bill che fanno da margine continuano a rendere il loro — questa è la fetta aggiuntiva della vendita di put.)

La collina di Kelly: crescita relativa in funzione della frazione scommessa. Piatta vicino alla vetta — il mezzo Kelly conserva il 75% della crescita — e ripidissima oltre: al doppio del Kelly la crescita è zero, più in là si perde vincendo. Numeri del modello a quattro scenari.

Quattro lezioni, in ordine di importanza.

Lezione 1: il full Kelly è metà del tetto, e resta insostenibile. Il Kelly esatto (4,86 contratti, leva 3,5×) sta ben sotto il tetto di non-rovina: la matematica sa che lo scenario 1987 esiste e si tiene margine. Ma “ottimo per la crescita” continua a non voler dire “sensato”: a full Kelly la notte sbagliata costa il 55% del conto in un colpo solo, e la probabilità di dimezzarsi prima o poi resta una moneta. Il full Kelly è la frontiera superiore del dimensionamento razionale, non il consiglio.

Lezione 2, la più importante: a 5% OTM la leva “da blog” è una frazione di Kelly molto più alta di quanto sembri. Il metodo ERN e i praticanti documentano leve nozionali tra 2 e 3×; l’architettura di questo sito, alla pagina Capital efficiency, parla di 3-4×. Su strike più vicini, dove il premio è più ricco, le stesse leve corrisponderebbero a frazioni di Kelly più prudenti; qui, con lo strike al 5%, il full Kelly È 3,5×: una leva 2-4× corrisponde a 0,6-1,2 del Kelly pieno — con probabilità di dimezzamento dal 25% in su. Stessa leva, rischio in termini di Kelly più che raddoppiato. Il motivo è strutturale: allontanando lo strike, il premio (e l’edge) si assottiglia più in fretta della perdita di coda, quindi il Kelly ottimo in leva scende. Le differenze tra questo modello nudo e la strategia reale — gli stop intraday, la distanza dello strike rivista col VIX (la strategia reale non tiene il 5% fisso: nei regimi agitati lo strike si allontana), il collaterale che ammortizza — spostano i numeri, ma non la morale: “vinco il 99,9% delle volte” e “sto scommettendo poco” sono affermazioni indipendenti, e la seconda va verificata contro Kelly, non contro il win rate.

Lezione 3: dimezzare i contratti costa poco e compra tantissimo. Da full a mezzo Kelly la crescita scende da 1,15% a 0,79% — 36 punti base l’anno di pedaggio — ma la probabilità di dimezzamento crolla da 50% a 12,5% e la perdita worst-case da 55% a 27%. A queste grandezze di edge, l’assicurazione del frazionario costa spiccioli.

Lezione 4: guarda quanto è piccolo il monte premi. A mezzo Kelly (2,43 contratti) incassi circa 24.500 $ lordi l’anno su un milione, di cui — se il modello è giusto — solo 9.300 circa sono edge atteso: meno dell'1% annuo sopra il collaterale, prima di slippage e imprevisti. La versione 5% OTM della strategia non è la versione sicura: è la versione piccola. Il grosso del rendimento documentato dai praticanti viene dal collaterale e da strike più vicini; chi si aspetta il 10% l’anno vendendo delta 1 o sta usando una leva da full Kelly in su, o sta sognando.

E se l’edge fosse la metà?#

L’input più fragile del modello è l’edge: 15,25 $ per contratto è una stima, e — Chopra-Ziemba insegnano — è l’input il cui errore costa venti volte gli altri. A questi livelli, poi, i costi vivi non sono arrotondamenti: 1,5-2 $ di commissioni per contratto sono già il 10-13% dell’edge teorico, prima dello slippage sul bid-ask.

Ho quindi rifatto i conti con uno scenario ostile: stesse perdite, probabilità di coda ritoccate al rialzo quel tanto che basta a dimezzare l’edge (da 15,25 a 7,75 $ per contratto — il tipo di errore che un backtest su dieci anni fortunati commette senza fatica), tenendo però i dimensionamenti calcolati sui parametri ottimisti. Risultato: il full Kelly ha crescita −0,09% — negativa; il mezzo Kelly resta a +0,27% e diventa il migliore del gruppo; il quarto a +0,19%. Il full Kelly calcolato su parametri troppo ottimisti non “guadagna meno”: distrugge ricchezza, pur vincendo il 99,9% delle sere. È la conferma numerica della regola dell’antologia, che Thorp disegna in un grafico memorabile: se la vera media è la metà di quella stimata, chi usa il full Kelly stimato finisce a crescita zero o sotto, chi usa il mezzo Kelly stimato finisce vicino all’ottimo vero. Con parametri incerti, il frazionario non è più prudente: è più redditizio.

Quello che il modello base non vede#

I gap overnight#

Un 1DTE passa una notte intera esposto senza difese: lo stop è uno strumento intraday, il danno arriva a mercati chiusi. Due conseguenze formali. Primo: le formule di drawdown come x^(2/c − 1) valgono per processi continui — con i salti il capitale può scavalcare le barriere invece di attraversarle, quindi le probabilità vere sono peggiori di quelle tabulate. Secondo: la famosa proprietà “il Kelly bettor non rischia mai la rovina” decade; con i salti, l’unico vero limite di sicurezza è quello strutturale del tetto. L’alternativa che il framework rende valutabile: comprare una put ancora più OTM e trasformare la vendita nuda in credit spread. Uno spread 7125/6750 (larghezza 375 punti, premio netto ipotizzato 25 $) tronca la perdita massima a circa 37.475 $ per contratto: il tetto di non-rovina sale da 8,9 a 26,7 contratti per milione e il Kelly ottimo si sposta in alto. Se il costo della protezione è inferiore al valore attuariale della coda eliminata, lo spread domina; spesso non lo è — ma il bello di Kelly è che rende le due alternative commensurabili su un’unica metrica, il tasso di crescita.

I margini: qui, sorpresa, non mordono per primi#

Con margine Reg-T sulle opzioni di indice (circa il 15% del sottostante meno l’importo OTM, più il premio), un contratto dell’esempio impegna circa 75.000 $. Il full Kelly ne richiede 365.000 su un milione (36% dell’equity), il mezzo Kelly 182.000 (18%). Diversamente dalla configurazione a strike vicino — dove il margine satura il conto prima che Kelly dica basta — qui è Kelly il vincolo stringente, non il broker. È un’osservazione meno innocua di quanto sembri: al 5% OTM il margine ti lascerebbe vendere 12-13 contratti, cioè ben oltre il tetto di rovina. Il margine del broker protegge lui, non la tua crescita composta. Resta valida la regola prudenziale della pagina Capital efficiency: dimensionare in modo che il margine post-stress resti sotto metà dell’equity post-perdita.

Le perdite in grappolo e la tentazione post-crash#

Le vendite di 1DTE dal lunedì al venerdì — cinque a settimana — non sono scommesse indipendenti: nei regimi di crash le perdite arrivano in sequenza, con correlazione che tende a 1 — e per uno strike al 5% questo è particolarmente vero, perché i breach avvengono solo nei regimi estremi, dove i giorni cattivi si susseguono (marzo 2020: tre breach potenziali in sei sedute). Qui però il modello, che tiene lo strike inchiodato al 5%, è più severo della strategia reale: la distanza OTM si ri-ancora al VIX a ogni vendita, e dopo il primo giorno cattivo gli strike successivi si allontanano — il grappolo non sparisce, ma si dirada (il gap del primo giorno, quello, resta intero). L’antologia tratta il caso delle scommesse simultanee correlate e la morale è netta: il dimensionamento va calcolato sul rischio cumulato del grappolo, non del singolo giorno. Se un crash tipico dura 3-5 sedute, il capitale a rischio effettivo è 3-5 volte quello del singolo trade: equivale a dividere ulteriormente la frazione per 2-3.

E poi c’è il paradosso di Proebsting, una chicca che sembra scritta per i venditori di volatilità. Todd Proebsting chiese a Thorp: se Kelly mi dice di puntare il 25% a quote 2:1, e poi qualcuno mi offre quote 5:1 sulla stessa scommessa, quanto aggiungo? Risposta corretta di Kelly: un altro 22,5% — totale 47,5%, più del 40% che Kelly avrebbe prescritto per le quote 5:1 da sole. Iterando con quote sempre migliori, la frazione cumulata tende a 1: applicare Kelly in sequenza a occasioni via via più belle sulla stessa esposizione porta alla rovina, pur essendo ogni singolo passo formalmente ottimo. La traduzione short-vol fa venire i brividi: dopo una perdita il VIX esplode, i premi del 5% OTM decuplicano, e il Kelly ricalcolato sul nuovo capitale può suggerire più contratti di prima — una martingala travestita da ottimizzazione. La regola che ne discende: dopo perdite di coda, prima si aggiornano le probabilità condizionali (che sono peggiorate), poi si ricalcola il dimensionamento. Mai aumentare i contratti solo perché il premio è salito.

Bonus: fissare il rischio e ricavare i contratti#

La formula di drawdown si può usare al contrario, ed è forse il suo uso più pratico. Decidi il rischio che tolleri — diciamo: probabilità di dimezzamento non oltre il 5% — e risolvi per la frazione: x^(2/c − 1) = 0,05 con x = 0,5 dà c ≈ 0,376. Nel nostro modello: 0,376 × 4,86 = 1,83 contratti per milione, leva 1,30×. Chi non tollera più di una probabilità su venti di dimezzarsi deve stare sotto i due contratti per milione su questo strike. È il tipo di numero che nessuna intuizione produce da sola.

L’arringa dell’accusa#

Una pagina onesta deve dare spazio all’accusa. Nell’antologia ci sono almeno quattro argomenti che ridimensionano — o mettono in dubbio — l’intera impresa, e sulla configurazione 5% OTM colpiscono ancora più duro.

Primo: Kelly può rispondere “zero”. Il criterio presuppone un edge positivo noto. Qui l’edge è 15 $ lordi per contratto — una stima sottile come un rasoio, che due dollari di commissioni e un po’ di slippage riducono del 15-25% prima ancora di discutere il modello. Se il premio netto vero, dopo costi e code oneste, fosse zero, il Kelly ottimo è zero contratti. Non è un fallimento del framework: è una sua risposta legittima, e più lo strike è lontano, più è la risposta probabile.

Secondo: l’obiezione di Samuelson vale doppio per chi decumula. Paul Samuelson, critico storico del criterio, ha passato decenni a ripetere — una volta perfino in un articolo scritto tutto in parole monosillabiche — che massimizzare la crescita non equivale a massimizzare la tua utilità. L’antologia riconosce che su questo ha ragione: chi ha avversione al rischio maggiore di quella logaritmica deve stare sotto il Kelly, e nessun orizzonte lungo lo salva. Il pubblico tipico di questa strategia — chi vive del portafoglio — ha un’utilità marginale ripidissima nella zona dei drawdown gravi: per lui l’ottimo soggettivo è più vicino a un ottavo di Kelly (mezzo contratto per milione!) che a un mezzo.

Terzo: il track record non dimostra nulla per anni — qui, per decenni. Con un breach ogni mille sedute servono quattro anni solo per osservare in media un evento di perdita. Un backtest di cinque anni può letteralmente non contenere nessuna coda: il win rate del 99,9% è compatibile sia con un edge vero sia con un edge negativo mascherato — il problema del campione della pagina Tail risk, all’ennesima potenza. Nell’antologia c’è un esempio agghiacciante sulla lentezza dell’inferenza: per distinguere con l'84% di confidenza due giochi con edge 1,0% e 1,1% servono due milioni di prove. Per una strategia i cui eventi informativi arrivano una volta ogni quattro anni, la statistica seria si fa sulle code implicite nei prezzi e sulla storia lunga dell’indice, non sul proprio P&L.

Quarto: il rischio comportamentale è parte del modello. Le simulazioni dell’antologia — settecento scommesse consecutive, tutte con il 14% di vantaggio — mostrano che il full Kelly può comunque trasformare 1.000 $ in 4 $, e che nessuna frazione elimina le lunghe sequenze negative. Per una strategia il cui edge si concentra dopo i crash, quando i premi sono ricchi, abbandonare al minimo — la reazione umana standard, lo stato assorbente psicologico della pagina Ergodicità — significa incassare tutte le code e perdere tutti i recuperi. L’overbetting non si paga solo in denaro: si paga in probabilità di mollare al momento peggiore.

Il succo#

1. Il tetto assoluto è il capitale diviso la perdita dello scenario peggiore: con put 5% OTM su SPX 7.500 e scenario −20%, 8,9 contratti per milione (leva 6,3×). Sopra, non è trading: è rovina differita.
2. Il Kelly media-varianza qui prescrive 9,7 contratti — oltre il tetto di rovina. Con skewness −77 la formula μ/σ² non è un’approssimazione imprecisa: è un ordine di autodistruzione. Solo scenari discreti con le code dentro.
3. Il full Kelly onesto è 4,86 contratti (leva 3,5×) con crescita attesa di appena l'1,15% annuo sopra il collaterale — e diventa negativa se l’edge stimato è il doppio di quello vero. La zona sensata è un quarto-mezzo Kelly: 1,2-2,4 contratti per milione, leva 0,9-1,7×, con il tetto sul worst-case e un ulteriore taglio per il grappolo delle perdite.
4. A 5% OTM la leva 2-4× “da praticanti” non è prudente: è 0,6-1,2 del full Kelly, molto più aggressiva — in termini di Kelly — della stessa leva su strike più vicini. Il win rate del 99,9% non misura quanto stai scommettendo; Kelly sì.
5. Il rendimento realistico di questa configurazione è di pochi decimi di punto sopra il collaterale: la versione deep-OTM non è la versione sicura della strategia, è la versione piccola. Se i numeri che ti aspetti sono più grandi, o lo strike è più vicino (e allora rifai questi conti con code più probabili), o la leva è da full Kelly in su (e allora rileggi il punto 3).

Il valore vero del criterio di Kelly per un venditore di put non è il numero magico: è la mappa. Sapere che il tetto di rovina esiste ed è calcolabile; sapere che il broker ti lascerebbe superarlo; sapere che a questi strike la leva raddoppia il rischio senza raddoppiare l’edge; sapere che l’input da sorvegliare è l’edge, non il win rate. La differenza tra chi vende volatilità con una mappa e chi la vende a sentimento non si vede nei mesi buoni: si vede la mattina dopo il prossimo −20%.

Con questo si chiude davvero la sezione sul rischio. Ora hai gli strumenti (sezione Derivati), il premio da raccogliere (Volatility risk premium), le metriche giuste (Misure di rischio), la mappa delle code (Tail risk), il principio che governa il dimensionamento (Ergodicità) e perfino i conti fatti. È il momento di costruire le Strategie.